Câu 42 trang 174 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Câu 42 trang 174 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Độ dài các cạnh của tam giác ABC vuông tại A thỏa mãn hệ thức sau:
BC = AB + 2a (1)
(AC = {1 trên 2}trái( {BC + AB} phải)) (2)
là một độ dài nhất định
a) Tính theo a, độ dài các cạnh và chiều cao AH của tam giác
b) Tam giác ABC nội tiếp nửa đường tròn tâm O. Tìm diện tích phần thuộc nửa đường tròn nhưng nằm ngoài tam giác.
c) Cho tam giác ABC quay một lần quanh cạnh huyền BC. Tính tỉ số diện tích các phần tạo bởi các dây AB và AC
GIÁ
a) Xác định độ dài cạnh AB = x; điều kiện: x > 0
Theo bài (1) ta có: BC = x + a (3)
Từ (2) và (3) ( Mũi tên phải AC = {1 trên 2}trái ( {x + 2a + x} phải) = x + a)
(Delta ABC) là hình vuông tại A, theo định lý Pitago ta có:
(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2})
(phương trình{ & mũi tên phải {trái( {x + 2a} phải)^2} = {x^2} + {trái( {x + a} phải)^2} cr & mũi tên phải {x^2} + 4ax + 4 {a^2} = {x^2} + {x^2} + 2ax + {a^2} cr & mũi tên phải {x^2} – 2ax – 3{a^3} = 0 cr & Delta = {trái ( { – 2a} phải)^2} – 4.1 trái( { – 3{a^2}} phải) = 4{a^2} + 12{a^2} = 16{a^2 } > 0 cr & Mũi tên phải sqrt Delta = sqrt {16{a^2}} = 4a cr & {x_1} = {{2a + 4a} trên {2.1}} = {{6a} trên 2} = 3a cr & {x_2 } = {{ 2a – 4a} trên {2.1}} = – a kr} )
Vì x > 0 ( Mũi tên phải {x_2} = – a) (loại)
Vậy cạnh AB = 3a; AC = 3a + a = 4a; BC = 3a + 2a = 5a
AH.BC = AB.AC
(Mũi tên phải {rm A}{rm H} = {{AB.AC} trên {BC}} = {{3a.4a} trên {5a}} = {{12a} trên 5})
b) Diện tích của (ABC):
({S_1} = {1 trên 2}AB.AC = {1 trên 2}.3a.4a = 6{a^2}) (đơn vị diện tích)
(Delta ABC) nội tiếp (O) bán kính đường tròn: (R = {{BC} trên 2} = {{5a} trên 2})
Diện tích hình bán nguyệt: ({S_2} = {1 trên 2}pi . {r^2} = {1 trên 2}pi . {trái( {{{5a} trên 2}} phải)^2} = { {25pi {a^2}} trên 8})
Diện tích hình bán nguyệt ngoại tiếp tam giác:
(S = {S_2} – {S_1} = {{25pi {a^2}} trên 8} – 6{a^2} = {{{a^2}} trên 8}trái ( {25pi – 48} phải ))
c) Khi quay (Delta ABC) quanh cạnh BC, AB và AC vẽ hai hình nón có bán kính đáy AH.
Diện tích tạo bởi dây AB:
({S_1} = pi .AH.AB = pi .AH.3a)
Khu vực được tạo ra bởi hợp âm AC
(bằng{ & {S_2} = pi .AH.AC = pi AH.3a cr & {{{S_1}} trên {{S_2}}} = {{pi .AH.3a} trên {pi .AH.4a} } = {3 trên 4} k} )