Giải bài 3.5, 3.6, 3.7, 3.8 trang 36 Sách bài tập Đại số và giải tích 11

Bài 3.5 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và Giải tích 11

Giải phương trình dưới đây

a) ({cos ^2}x + 2sin xcos x + 5{sin ^2}x = 2)

b) (3{cos^2}x – 2sin 2x + {sin ^2}x = 1)

c) (4{cos ^2}x – 3sin xcos x + 3{sin ^2}x = 1)

GIÁ

a) ({cos ^2}x + 2sin xcos x + 5{sin ^2}x = 2)

Rõ ràng cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Đối với cosx 0, chia cả hai vế cho cos²x ta được:

(bình đẳng{
& 1 + 2tan x + 5{tan ^2}x = 2left( {1 + {{tan }^2}x} phải) kr
& Mũi tên trái 3{tan ^2}x + 2tan x – 1 = 0 cr
& Trái Mũi Tên Trái[ matrix{
tan x = – 1 hfill cr
tan x = {1 over 3} hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{
x = – {pi over 4} + kpi ,k in {rm Z} hfill cr
x = arctan {1 over 3} + kpi ,k in {rm Z} hfill cr} right. cr} )

b) (3{cos ^2}x – 2sin 2x + {sin ^2}x = 1)

Với cosx = 0 ta thấy hai vế đều bằng 1. Vậy phương trình có nghiệm (x = {pi  over 2} + kpi ,k in {rm Z})

Trường hợp cosx ≠ 0, chia hai vế cho cos²x ta được:

(eqalign{
& 3 – 4tan x + {tan ^2}x = 1 + {tan ^2}x cr
& Leftrightarrow 4tan x = 2 cr
& Leftrightarrow tan x = {1 over 2} cr
& Leftrightarrow x = arctan {1 over 2} + kpi ,k in {rm Z} cr} )

Vậy nghiệm của phương trình là (x = {pi  over 2} + kpi ,k in {rm Z}) và (x = arctan {1 over 2} + kpi ,k in {rm Z})

c) (4{cos ^2}x – 3sin xcos x + 3{sin ^2}x = 1)

Rõ ràng cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos²x ta được:

(eqalign{
& 4 – 3tan x + 3{tan ^2}x = 1 + {tan ^2}x cr
& Leftrightarrow 2{tan ^2}x – 3tan x + 3 = 0 cr} )

Phương trình cuối vô nghiệm đối với tanx, do đó phương trình đã cho vô nghiệm

---

Bài 3.6 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Giải các phương trình sau

a) (2cos x – sin x = 2)

b) (sin 5x + cos 5x =  – 1)

c) (8{cos ^4}x – 4cos 2x + sin 4x – 4 = 0)

d) ({sin ^6}x + {cos ^6}x + {1 over 2}sin 4x = 0)

Giải

a) 

(eqalign{
& 2cos x – sin x = 2 cr
& Leftrightarrow sqrt 5 left( {{2 over {sqrt 5 }}cos x – {1 over {sqrt 5 }}sin x} right) = 2 cr} )

Kí hiệu α là góc mà (cos alpha  = {2 over {sqrt 5 }}) và ({rm{sin}}alpha  =  – {1 over {sqrt 5 }}), ta được phương trình

(eqalign{
& cos alpha cos x + sin alpha sin x = {2 over {sqrt 5 }} cr
& Leftrightarrow cos left( {x – alpha } right) = cos alpha cr
& Leftrightarrow x – alpha = pm alpha + k2pi ,k in {rm Z} cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = 2alpha + k2pi ,k in Z hfill cr
x = k2pi ,k in Z hfill cr} right. cr} )

b) 

(eqalign{
& sin 5x + cos 5x = – 1 cr
& Leftrightarrow sqrt 2 left( {{{sqrt 2 } over 2}sin 5x + {{sqrt 2 } over 2}cos 5x} right) = – 1 cr
& Leftrightarrow cos {pi over 4}sin 5x + sin {pi over 4}cos 5x = – {{sqrt 2 } over 2} cr
& Leftrightarrow sin left( {5x + {pi over 4}} right) = sin left( { – {pi over 4}} right) cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
5x + {pi over 4} = – {pi over 4} + k2pi ,k in Z hfill cr
5x + {pi over 4} = {{5pi } over 4} + k2pi ,k in Z hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = – {pi over {10}} + k{{2pi } over 5},k in Z hfill cr
x = {pi over 5} + k{{2pi } over 5},k in Z hfill cr} right. cr} )

c) 

(eqalign{
& 8{cos ^4}x – 4cos 2x + sin 4x – 4 = 0 cr
& Leftrightarrow 8{left( {{{1 + cos 2x} over 2}} right)^2} – 4cos 2x + sin 4x – 4 = 0 cr
& Leftrightarrow 2left( {1 + 2cos 2x + {{cos }^2}2x} right) – 4cos 2x + sin 4x – 4 = 0 cr
& Leftrightarrow 2{cos ^2}2x + sin 4x – 2 = 0 cr
& Leftrightarrow 1 + cos 4x + sin 4x – 2 = 0 cr
& Leftrightarrow cos 4x + sin 4x = 1 cr
& Leftrightarrow sin left( {4x + {pi over 4}} right) = sin {pi over 4} cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
4x + {pi over 4} = {pi over 4} + k2pi ,k in Z hfill cr
4x + {pi over 4} = {{3pi } over 4} + k2pi ,k in Z hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = k{pi over 2},k in Z hfill cr
x = {pi over 8} + k{pi over 2},k in Z hfill cr} right. cr} )

d)

(eqalign{
& {sin ^6}x + {cos ^6}x + {1 over 2}sin 4x = 0 cr
& Leftrightarrow {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)^3} – 3{sin ^2}x{cos ^2}xleft( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right) + {1 over 2}sin 4x = 0 cr
& Leftrightarrow 1 – 3{sin ^2}x{cos ^2}x + {1 over 2}sin 4x = 0 cr
& Leftrightarrow 1 – 3{left( {{{sin 2x} over 2}} right)^2} + {1 over 2}sin 4x = 0 cr
& Leftrightarrow 1 – {3 over 4}{sin ^2}2x + {1 over 2}sin 4x = 0 cr
& Leftrightarrow 1 – {3 over 4}.{{1 – cos 4x} over 2} + {1 over 2}sin 4x = 0 cr
& Leftrightarrow 8 – 3 + 3cos 4x + 4sin 4x = 0 cr
& Leftrightarrow 3cos 4x + 4sin 4x = – 5 cr
& Leftrightarrow {3 over 5}cos 4x + {4 over 5}sin 4x = – 1 cr} )

Kí hiệu α là cung mà (sin alpha  = {3 over 5},cos alpha  = {4 over 5}) ta được:

(eqalign{
& Leftrightarrow sin left( {4x + alpha } right) = – 1 cr
& Leftrightarrow 4x + alpha = {{3pi } over 2},k in Z cr
& Leftrightarrow x = {{3pi } over 8} – {alpha over 4} + k{pi over 2},k in Z cr} )   

---

Bài 3.7 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) (1 + sin x – cos x – sin 2x + 2cos 2x = 0)

b) (sin x – {1 over {sin x}} = {sin ^2}x – {1 over {{{sin }^2}x}})

c) (cos xtan 3x = sin 5x)

d) (2{tan ^2}x + 3tan x + 2{cot ^2}x + 3cot x + 2 = 0)

Giải:

a) (1 + sin x – cos x – sin 2x + 2cos 2x = 0{rm{        }}left( 1 right))

Ta có: 

(eqalign{
& 1 – sin 2x = {left( {sin x – cos x} right)^2}; cr
& 2cos 2x = 2left( {{{cos }^2}x – {{sin }^2}x} right) cr
& = – 2left( {sin x – cos x} right)left( {sin x + cos x} right), cr} )

Vậy 

(eqalign{
& left( 1 right) Leftrightarrow left( {sin x – cos x} right)left( {1 + sin x – cos x – 2sin x – 2cos x} right) = 0 cr
& Leftrightarrow left( {sin x – cos x} right)left( {1 – sin x – 3cos x} right) = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
sin x = cos x hfill cr
3cos x + sin x = 1 hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
tan x = 1 hfill cr
{3 over {sqrt {10} }}cos x + {1 over {sqrt {10} }}sin x = {1 over {sqrt {10} }} hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 4} + kpi ,k in Z hfill cr
x = alpha pm arccos {1 over {sqrt {10} }} + k2pi ,k in Z hfill cr} right. cr} )

trong đó, (cos alpha  = {3 over {sqrt {10} }},sin alpha  = {1 over {sqrt {10} }})

b) (sin x – {1 over {sin x}} = {sin ^2}x – {1 over {{{sin }^2}x}}left( 2 right))

Điều kiện sinx ≠ 0

(eqalign{
& left( 2 right) Leftrightarrow left( {sin x – {{sin }^2}x} right) + left( {{1 over {{{sin }^2}x}} – {1 over {sin x}}} right) = 0 cr
& Leftrightarrow sin xleft( {1 – sin x} right) + {{1 – sin x} over {{{sin }^2}x}} = 0 cr
& Leftrightarrow left( {1 – sin x} right)left( {{{sin }^3}x + 1} right) = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
sin x = 1 hfill cr
sin x = – 1 hfill cr} right. Rightarrow x = {pi over 2} + kpi ,k in Z cr} )

(thỏa mãn điều kiện)

c) (cos xtan 3x = sin 5xleft( 3 right))

Điều kiện: cos3x ≠ 0. Khi đó,

(eqalign{
& left( 3 right) Leftrightarrow cos xsin 3x = cos 3xsin 5x cr
& Leftrightarrow {1 over 2}left( {sin 4x + sin 2x} right) = {1 over 2}left( {sin 8x + sin 2x} right) cr
& Leftrightarrow sin 8x = sin 4x cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
8x = 4x + k2pi ,k in Z hfill cr
8x = pi – 4x + k2pi ,k in Z hfill cr} right. cr
& Rightarrow left[ matrix{
x = k{pi over 2},k in Z hfill cr
x = {pi over {12}} + k{pi over 6},k in Z hfill cr} right. cr} )

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:

(x = kpi ,k in Z) và (x = {pi  over {12}} + k{pi  over 6},k in Z)

d) (2{tan ^2}x + 3tan x + 2{cot ^2}x + 3cot x + 2 = 0left( 4 right))

Điều kiện: cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0. Khi đó,

(eqalign{
& left( 4 right) Leftrightarrow 2left( {{{tan }^2}x + {{cot }^2}x} right) + 3left( {tan x + cot x} right) + 2 = 0 cr
& Leftrightarrow 2left[ {{{left( {tan x + cot x} right)}^2} – 2} right] + 3 trái ( {tan x + cot x} ngay) + 2 = 0 kr})

Đặt t = tanx + cotx ta được phương trình

(2{t^2} + 3t – 2 = 0 Mũi tên phải t = – 2,t = {1 trên 2})

Với t = -2 ta có tanx + cotx = -2

(bình đẳng{
& Mũi tên phải {tan ^2}x + 2tan x + 1 = 0 Mũi tên phải tan x = – 1 kr
& Mũi tên phải x = – {pi trên 4} + kpi ,k trong Z{rm{ }} cr} )

(Các điều kiện được đáp ứng)

Với (t = {1 trên 2}) ta có (tan x + cot x = {1 trên 2} Mũi tên trái phải 2{tan ^2}x – tan x + 2 = 0)

Phương trình này không có nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình (4) là (x = – {pi trên 4} + kpi ,k trong Z)

---

Bài 3.8 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và Giải tích 11

Giải phương trình

(giường x – tan x + 4sin 2x = {2 trên {sin 2x}})

GIÁ

Hướng dẫn: Đối với phương trình lượng giác chứa tanx, giường trẻ emxtộigấp đôi hoặc cos2xchúng ta có thể quay lại phương trình chứa cosxtộixtội lỗi2xhoặc cos2x Ngoài ra cũng có thể đặt ẩn phụ. t = rám nắngx để chuyển đổi một phương trình bằng t.

Cách 1: Trạng thái của phương trình:

(sin 2x trong 0 Mũi tên trái, cos 2x trong chiều 1{rm{ }}trái( 1 phải))

Chúng ta có:

(bình đẳng{
& cot x – tan x + 4sin 2x = {2 trên {sin 2x}} cr
& Mũi tên phải {{cos x} trên {sin x}} – {{sin x} trên {cos x}} + 4sin 2x – {2 trên {sin 2x}} = 0 kr
& Mũi tên phải {{{{cos }^2}x – {{sin }^2}x} trên {sin x.cos x}} + 4sin 2x – {2 trên {sin 2x}} = 0 kr
& Mũi tên phải {{2cos 2x} trên {sin 2x}} + 4sin 2x – {2 trên {sin 2x}} = 0 kr
& Mũi tên trái 2cos 2x + 4{sin ^2}2x – 2 = 0 kr
& Mũi tên trái cos 2x + 2trái( {1 – {{cos}^2}2x} phải) – 1 = 0 kr
& Mũi tên trái 2{cos ^2}2x – cos 2x – 1 = 0 cr
& Trái Mũi tên trái[matrận[matrận{[matricë[matrix{
cos 2x = 1{rm{ (loại)}} hfill kr
cos 2x = – {1 trên 2} hfill cr} đúng. xem
& Mũi tên trái 2x = pm {{2pi } trên 3} + k2pi ,k trong Z cr
& Mũi tên phải x = pm {pi trên 3} + kpi ,k trong Z cr} )

Cách 2. Đặt t = tanx

Trạng thái t ≠ 0

Phương trình đã cho có dạng

(bình đẳng{
& {1 trên t} – t + 4. {{2t} trên {1 + {t^2}}} = {{1 + {t^2}} trên t} kr
& Mũi tên trái {{1 – {t^2}} trên t} + {{8t} trên {1 + {t^2}}} – {{1 + {t^2}} trên t} = 0 kr
& Mũi tên trái 1 – {t^4} + 8{t^2} – {trái( {1 + {t^2}} phải)^2} = 0 kr
& Mũi tên phải – 2{t^4} + 8{t^2} – 2{t^2} = 0 kr
& Mũi tên trái {t^4} – 3{t^2} = 0 cr
& Mũi tên phải {t^2}trái( {{t^3} – 3} phải) = 0 kr
& Trái Mũi tên trái[matrận[matrận{[matricë[matrix{
t = 0{rm{ }}left( {{rm{type ,, do}}left( 2 right)} right) hfill cr
t = pm sqrt 3 hfill cr} phải. xem
& tan x = pm sqrt 3 Mũi tên trái x = pm {pi trên 3} + kpi ,k trong Z cr} )

giaibaitap.me