Giải bài 9, 10, 11, 12 trang 46, 47 SGK Giải tích 12

Bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ((C)) của hàm số

(f(x) = {1 trên 2}{x^4} – 3{x^2} + {3 trên 2})

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ((C)) tại điểm có tọa độ là nghiệm của phương trình (f”(x) = 0)

c) Tham số tham số (m) số nghiệm của phương trình: (x^4- 6x^2+ 3 = m)

GIÁ

a) Xét hàm số y = (f(x) = {1 trên 2}{x^4} – 3{x^2} + {3 trên 2}) ((C))

Tập xác định: (D =mathbb R)

* Biến thể:

(y’ = 2x^3- 6x = 2x(x^2- 3))

(y’ = 0 x = 0, x = ±sqrt3)

– Hàm nghịch đảo trên các khoảng ((-infty;-sqrt3)) và ((0;sqrt3)), đồng biến trên các khoảng ((-sqrt 3;0)) và ((sqrt3;+infty)).

– Vô cùng:

Hàm số đạt cực đại tại (x=0); (y_{CD}={3trên 2})

Hàm đạt cực tiểu tại hai điểm (x=-sqrt3) và (x=sqrt3); (y_{CT}=y_(pmsqrt3)=-3)

– Giới hạn:

(mathop {lim y}limits_{x to pm infty } = + infty )

– Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục (Oy) làm trục đối xứng.

b)

(y” = 6x^2– 6x)

(y” = 0 6x^2– 6x = 0 x = ± 1)

(y'(-1) = 4, y'(1) = -4, y(± 1) = -1)

Tiếp tuyến của ((C)) tại điểm ((-1, -1)) là: (y = 4(x+1) – 1= 4x+3)

Tiếp tuyến của ((C)) tại điểm ((1, -1)) là: (y = -4(x-1) – 1 = -4x + 3)

c) Ta có: ({x^4} – 6{x^2} + 3 = m Mũi tên trái phải {1 trên 2}{x^4} – 3{x^2} + {3 trên 2} = { m hơn ) 2}) (1)

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của ((C)) và đường thẳng (d): (y = {m trên 2})

Từ biểu đồ chúng ta thấy:

(m

(m = -6): (1) có 2 nghiệm

(-6

(m = 3): (1) có 3 nghiệm

(m > 3): (1) có 2 nghiệm

Bài 10 trang 46 SGK Giải tích 12

Cho chức năng:

(y = -x^4+ 2mx^2- 2m + 1) ( (m) là tham số) có đồ thị (C_tôi)

a) Biện luận theo m cực trị của hàm số

b) Với giá trị nào của m thì (C_tôi) cắt trục hoành?
c) Xác định m trong (C_tôi) có cực đại và cực tiểu

GIÁ

a) (y = -x^4+ 2mx^2- 2m + 1)(C_tôi).

Tập xác định: (D =mathbb R)

(y’ = -4x^3+ 4mx = -4x (x^2- m))

+) Với (m ≤ 0) thì (y’) có nghiệm (x = 0) và đổi dấu (+) thành (–) khi qua nghiệm này. Vậy hàm số có cực đại là (x = 0)

+) Với (m>0)

Hàm số có 3 cực trị.

Do đó hàm số có 2 cực đại tại (x = ± sqrt m) và cực tiểu tại (x = 0)

b) Phương trình (-x^4+ 2mx^2- 2m + 1=0) luôn có nghiệm (x = ± 1) với mỗi m nên (C_tôi) luôn cắt trục hoành.

c) Theo cách giải câu a, ta thấy ngay:

với (m > 0) thì đồ thị (C_tôi) có cực đại và cực tiểu.

Bài 11 trang 46 SGK Giải tích 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

(y = {{x + 3} trên {x + 1}})

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của (m) thì đường thẳng (y = 2x + m) luôn cắt ((C)) tại hai điểm phân biệt (M) và (N).

c) Xác định m sao cho độ dài (MN) nhỏ nhất

d) Tiếp tuyến tại một điểm (S) bất kỳ của ((C)) luôn cắt hai tiệm cận của ((C)) tại (P) và (Q). Chứng minh rằng (S) là trung điểm của (PQ).

GIÁ

a) (y = {{x + 3} trên {x + 1}})

Tập xác định: (D=mathbb Rbackslash {rm{{ }} – 1} )

* Biến thể:

(y’ = {{ – 2} trên {{{(x + 1)}^2}}}

– Hàm nghịch đảo trong khoảng: ((-infty;-1)) và ((-1;+infty))

– Cực trị: Hàm số không có cực trị.

– Tiệm cận:

(bình đẳng{
& mathop {lim }limits_{x in – {1^ – }} y = – infty kr
& mathop {lim }bounds_{x in – {1^ + }} y = + infty kr
& mathop {lim }limits_{x to pm infty } y = 1 kr} )

Các tiệm cận đứng: (x = -1)

Tiệm cận ngang: (y = 1)

Bảng các biến thể:

* Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt (Ox) tại ((-3;0)), giao tuyến (Oy) tại ((0,3))

Đồ thị hàm số nhận điểm (I(-1;1)) làm tâm đối xứng.

b) Xét phương trình có nghiệm là tọa độ giao điểm của ((C)) và đường thẳng (d): (y = 2x + m) (1)

(bình đẳng{
& {{x + 3} trên {x + 1}} = 2x + m Mũi tên trái x + 3 = (2x + m)(x + 1) kr
& Mũi tên trái 2{x^2} + (m + 1)x + m – 3 = 0,x in – 1 kr} )

(Δ = (m+1)^2– 4.2(m-3) = m^2– 6m + 25 = (m-3)^2+ 16 > 0) nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt ( – Đầu tiên).

Vậy (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt (M, N) (thang ngang của (M, N) là nghiệm của (1)).

c) Theo định lý Viet ta có:

(trái{ma trận{
{x_M} + {x_N} = – {{m + 1} trên 2} hfill cr
{x_M}. {x_N} = {{m – 3} trên 2} hfill cr} đúng.)

(bình đẳng{
& M{N^2} = {rm{}}{left( {{x_M}-{x_N}} phải)^2} + {rm{ }}{({y_M} – {rm{ }}{y_N} )^2} điểm
& = {trái( {{x_M}-{x_N}} phải)^2} + {trái[ {(2{x_M} + m) – (2{x_N} + m)} right]^2} điểm
& = 5{trái( {{x_M}-{x_N}} phải)^2} = 5trái[ {{{left( {{x_M}+{x_N}} right)}^2} – 4{x_M}{x_N}} right] xem
& = 5 trái[ {{{( – {{m + 1} over 2})}^2} – 4.{{m – 3} over 2}} right] = {5 trên 4}({m^2} – 6m + 25) cr
& = {5 trên 4}trái[ {{{(m – 3)}^2} + 16} right] ge {5 trên 4}.16 = 20 kr} )

(MN = 2sqrt5 m = 3)

Vậy độ dài nhỏ nhất (MN) bằng (2sqrt5) khi (m=3)

d) Giả sử (S(x_0;y_0)) là một điểm bất kỳ thuộc (C)

Phương trình của tiếp tuyến (Δ) tại (C) tại (S) là:

(bình đẳng{
& y – y = y'({x_0})(x – {x_0}) cr
& Mũi tên phải y = {{ – 2} trên {{{({x_0} + 1)}^2}}}(x – {x_0}) + {{{x_0} + 3} trên {{x_0} + 1 } } k} )

(Δ) cắt đường tiệm cận ngang tại (P(2x_0+ 1, 1)), (Δ) cắt đường tiệm cận đứng tại (Q( – 1,{y_0} + {2 trên {{x_0} + 1}}))

Rõ ràng: ({x_P} + {x_Q} = 2{x_0},{y_P} + {y_Q} = 2{y_0}). Do đó (S) là trung điểm của (PQ).

bưu kiện 12 trang 47 SGK Giải tích 12

Hàm số đã cho: (f(x) = {1 trên 3}{x^3} – {1 trên 2}{x^2} – 4x + 6)

a) Giải phương trình (f'(sin x) = 0)

b) Giải phương trình (f”(cos x) = 0)

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có tọa độ là nghiệm của phương trình (f”(x) = 0).

GIÁ

(f(x) = {1 trên 3}{x^3} – {1 trên 2}{x^2} – 4x + 6)

(f'(x) = x^2– x – 4)

(f”(x) = 2x – 1)

Một)

(bình đẳng{
& f'(s{rm{inx}}) = 0 Mũi tên phải {sin ^2}x – {mathop{rm s}nolimits} {rm{in x}} – 4 = 0 kr
& Mũi tên trái {mathop{rm s}nolimits} {rm{in x = }}{{1 pm sqrt {17} } trên 2}(1) kr
& Làm{{1 – sqrt {17} } trên 2} 1 k} )

Suy ra (1) vô nghiệm.

b)

(bình đẳng{
& f”(cosx) = 0 Trái Mũi tên Phải 2cosx – 1 = 0 kr
& Mũi tên trái cos x = {1 trên 2} = cos {pi trên 3} cr
& Mũi tên trái x = pm {pi trên 3} + k2pi ,k inmathbb Z cr} )

c) Nghiệm của phương trình (f”(x) = 0) là (x = {1 trên 2})

Chúng ta có:

(bình đẳng{
& f'({1 trên 2}) = {1 trên 4} – {1 trên 2} – 4 = {{ – 17} trên 4} kr
& f({1 trên 2}) = {1 trên 3}. {1 trên 8} – {1 trên 2}. {1 trên 4} – 4. {1 trên 2} + 6 = {{47} trên {12}} kr} )

Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng:

(y = {{ – 17} trên 4}(x – {1 trên 2}) + {{47} trên {12}} Mũi tên phải y = – {{17} trên 4}x + {{145} trên { 24 ) }}).

giaibaitap.me