Phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

Phương trình đường tròn tiếp xúc với một đường thẳng

Dạng 1: Đường tròn (C) có tâm I và tiếp tuyến với đường thẳng (Delta)

Khi đó bán kính (R = d(I, Delta) )

Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn (C) tâm I(-1,2) tiếp xúc với đường thẳng ( Delta ) x – 2y + 7 = 0

Phần thưởng: Ta có (d(I, Delta) = frac {| -1-4-7 |} { sqrt {5}} )

Phương trình của đường tròn (C) có dạng ((x+1)^2 + (y-2)^2 = frac{4}{5} )

Hình 2: Đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (Delta)

• Viết phương trình đường phân giác d của đoạn thẳng AB
• Tâm I của (C) lấp đầy ( left {start {matrix} I epsilon d & \ d (I, Delta) = IA and end {matrix} right. )
• Bán kính R = IA

Ví dụ 2: Cho các điểm A(-1; 0), B(1; 2) và đường thẳng (d): x – y – 1 = 0. Lập phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp tuyến với đường thẳng d.

Phần thưởng: Gọi I(x, y) là tâm đường tròn cần tìm. Từ tình huống có vấn đề ta có:

IA = IB = r ( Mũi tên trái ) ((x+1)^2 + y^2 = (x-1)^2 + (y-2)^2) (1)

IA = d(I, d) ( Mũi tên phải ) ( sqrt{(x+1)^2 + y^2} = frac{|x-1-y|} {sqrt{2}} ) (2)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được x = 0, y = 1

Vì vậy, I(0,1) IA = r = ( sqrt {2} )

Phương trình đường tròn (C) có dạng (x^2+(y-1)^2=2 )

Hình 3: Đường tròn (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng (Delta) tại điểm B.

• Viết phương trình đường phân giác d của đoạn thẳng AB
• Viết phương trình đường thẳng (Delta’) đi qua B và (perp Delta)
• Xác định tâm I là id giao lộ và ( Delta ‘)
• Bán kính R = IA

Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A(6,0) và đi qua điểm B(9,9).

Phần thưởng: Gọi I(a,b) là tâm đường tròn (C).

Vì (C) tiếp xúc với trục hoành tại A(6;0) nên (I epsilon d: x = 6 )

Ngược lại B nằm trên đường tròn (C) nên I sẽ nằm trên đường trung trực của AB.

Ta có phương trình tâm AB là: x + 3y – 21 = 0

Thay x = 6 => y = 5
Khi đó ta tìm được tọa độ điểm I(6;5), R=5

Vậy phương trình đường tròn (C): ((x-6)^{2} + (y–5)^{2} = 25 )

>> Xem thêm: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn và các dạng bài tập – Toán 12

Phương trình đường tròn tiếp xúc với 2 đường thẳng

Dạng 1: Đường tròn (C) đi qua điểm A và là tiếp tuyến của hai đường thẳng ( Delta _{1}, Delta _{2} )

• Tâm I của (C) lấp đầy: (left {start {matrix} d(I, Delta _ {1}) = d(I, Delta _ {2}) & \ d (I, Delta _ {1}) = IA & kết thúc {ma trận} bên phải. )
• Bán kính R = IA

Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 7x–7y–5 = 0 và x + y + 13 = 0. Biết đường tròn tiếp xúc với một trong hai đường thẳng tại M(1,2).

Phần thưởng: Gọi I(x, y) là tâm đường tròn cần tìm. Ta có khoảng cách từ I đến 2 tiếp điểm bằng nhau nên ( frac {| 7x-7y-5 |} { sqrt{5}} = frac { left | x + y + 13 right |} { sqrt { 1}} ) ( 1)

và ( frac {| x + y + 13 |} {sqrt {2}} = sqrt {(1-x)^2 + (2-y)^2} ) (2)

Giải hệ 2 phương trình (1) và (2) ta được

• TH1: x = 29, y = – 2 => R = IM = (20 sqrt {2} )

Phương trình đường tròn có dạng ((x-29)^2 + (y+2)^2 = 800 )

• TH2: x = – 6, y = 3 => R = (5 sqrt {2} )

Phương trình đường tròn có dạng ((x + 6)^2 + (y-2)^2 = 50 )

Mẫu 2: Đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ( Delta _ {1}, Delta _ {2} ) và có tâm thuộc đường thẳng d.

• Tâm I của (C) lấp đầy ( trái {bắt đầu {ma trận} d (I, Delta _ {1}) = d (I, Delta _ {2}) & \ I epsilon d và kết thúc {ma trận} bên phải. )
• Bán kính (R = d (I, Delta _ {1}) )

Ví dụ 5: Viết phương trình đường tròn đi qua A(2, -1) và tiếp tuyến với hai trục tọa độ

Phần thưởng: Gọi I(a,b) là tâm đường tròn (C).

Vì (C) tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên I cách đều 2 trục tọa độ. Bắt nguồn từ: | một | = | b|

Bình luận: Vì đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên toàn bộ đường tròn nằm ở 1 trong 4 góc của các trục tọa độ và A(2, -1) nằm ở góc phần tư thứ tư.

=> Tâm I thuộc tứ phân vị => a > 0, b

Vậy tọa độ tâm là I(a, -a), bán kính R = a, với a > 0

Ta có phương trình đường tròn (C) dạng ((xa)^2 + (y + a)^2 = a^2 )

Vì A(-2;1) thuộc đường tròn (C) nên thay tọa độ của A vào phương trình (C) ta được: ((2-a)^2 + (1+a)^2 = a ^ 2)

Giải phương trình ta được a = 1 hoặc a = 5

• Với a=1 ta có phương trình (C)((x-1)^2+(y+1)^2=1 )
• Với a=5 ta có phương trình (C)((x-5)^2+(y+5)^2=5^2 )

Đây là phần tổng hợp kiến ​​thức viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng. Nếu bạn có bất kỳ nghi ngờ, câu hỏi hoặc đề xuất nào, vui lòng để lại nhận xét bên dưới. Cảm ơn các bạn, nếu thấy hay thì đừng quên chia sẻ nhé