Số phức là gì? Modun số phức? Bài tập công thức số phức

Số phức là gì? Thực hiện của số phức là gì? Kiến thức về các phép toán số phức? Thế nào là số phức nghịch đảo, số phức liên hợp?… Trong nội dung bài viết dưới đây, Cakhia TVsẽ giúp các bạn tìm hiểu kỹ hơn về chủ đề Số phức, cùng tìm hiểu nhé!.

Tìm hiểu về số phức?

Định nghĩa số phức là gì?

Số phức là một biểu thức có dạng a + bi trong đó a, b là các số thực và (i^{2} = -1 )
BỞI VÌ số phức z = a + bi thì ta nói a là phần thực, b là phần ảo ez và i là đơn vị ảo.
tập trung số phức ký hiệu là C

Nhận xét về số phức

• Bất kỳ số thực nào cũng được xem xét. số phức với phần ảo b = 0
• Các số phức z = a + bi với a = 0 được gọi là số thuần ảo hay số ảo
• Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

Hai số phức bằng nhau

hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau.
Các số phức z = a + bi và z’ = c + di bằng nhau Mũi tên trái a = c và b = d
Ví dụ: tìm các số thực x, y di (2x + 1) + 3yi = (x + 2) + (y + 2)i
Trả lời: Vì hai số phức bằng nhau (trái {đầu {ma trận} 2x + 1 = x + 2 & \ 3y = y + 2 và cuối {ma trận} phải. )
Vậy x = 1, y = 1

Mô đun của số phức

Mô đun của số phức là gì?

Giả sử M(a; b) là điểm biểu diễn các số phức z = a + bi trong mặt phẳng tọa độ.
Độ dài của ( vec {OM} ) là mô đun của số phức z. Ký hiệu là | ông |.
Chúng tôi có: | ông | = (|vec {OM} | ) = | a + bi | = (sqrt {a^{2} + b^{2}} )

Số phức liên hợp là gì?

Cho một số phức z = a + bi, chúng ta gọi nó là a – bi số liên hợp phức tạp ez và ký hiệu là ( bar {z} = a-bi )
Ví dụ: z = 1 + 2i thì (bar{z} = 1 – 2i)

Một số tính chất của số phức liên hợp:

• là một số thực.
• =
• =

Xem chi tiết >>> Thế nào là số phức liên hợp? Cách giải số phức bằng máy tính Casio

Biểu diễn hình học của số phức

Mỗi số phức z = a + bi xác định bởi cặp số thực (a; b)
Trong mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a, b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.
Mặt phẳng Oxy biểu diễn các số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O là số 0, trục hoành Ox là số thực, trục tung Oy là số ảo.

Các phép toán với số phức

Cộng và trừ số phức

Số nghịch đảo của số phức z = a + bi là -z = -a – bi
Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng trừ hai đa thức.
Đặt z = a + bi và z’ = c + di.
Tổng quan: z + z’ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
z – z’ = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d) i
Ví dụ: (5 + 2i) + (6 + i) = (5 + 6) + (2 + 1)i = 11 + 3i
(5 + 2i) – (6 + i) = (5 – 6) + (2 – 1) i = -1 + i

Phép nhân số phức

Phép nhân số phức có cùng tính chất với phép nhân số thực
Tổng quan: (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc) i
Ví dụ: (2 – 3i) (6 + 4i) = 12 + 8i – 18i – (12i^{2} ) = 12 + 18i – 8i + 12 = 24 – 10i

Phép chia số phức

Nghịch đảo của số phức (z = a + bi neq 0 ) là (z^{-1} = frac{1}{z} = frac { bar{z}} { left | z right | ^ {2}} )
Hoặc ( frac{1}{a + bi} = frac{a – bi}{a^{2} + b^{2}} )
Cho hai số phức (z = a + bi nq 0 ) và (z ‘= a’ + b’i )
Sau đó ( frac {z}{z’} = frac {z’ bar {z}} { left | z right | ^ {2}} )
hoặc ( frac{a’ + b’i} {a + bi} = frac {(a’ + b’i) (a – bi)} {a^{2} + b^{2}} )

Ví dụ: Tìm (z = frac {4 + 2i} {1 + i} )
Phần thưởng: Ta có z(1 + i) = 4 + 2i.
Nhân cả hai vế của phương trình trên với liên hợp của 1 + i với 1 – i, ta được:
(1 + i) (1 – i) z = (1 – i) (4 + 2i)
=> 2z = 6 – 2i
=> z = 3 – i
Vì vậy: (3-i = frac {4 + 2i} {1 + i} )

Dạng lượng giác của số phức

Trong mặt phẳng phức, số phức z với (z neq 0 ) được biểu diễn bởi một vectơ ( vec {OM } ) với M(a; b).
Góc lượng giác (( vec {Ox}, vec {OM}) = varphi + 2k pi, k epsilon mathbb {Z} )
Số đo của mỗi góc lượng giác trên được gọi là tích của Mr.
Đặt ( varphi ) là tích và r > 0 là mô đun của số phức z = a + khác 0 bi, dạng lượng giác ez là:
(z = r (acos varphi + isin varphi) )
Với (r = sqrt{a^2 + b^2} )
và (varphi) được xác định bởi (cos varphi = frac {a} {r} ) và (sin varphi = frac {b} {r} )
Ghi chú:

• | ông | = 1 ( Mũi tên phải ) (z = (cos varphi + isin varphi) ), (varphi trong R )
• z = 0 thì | ông | = r = 0 nhưng đầu ra iz không được định nghĩa là tùy ý.

Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác:
Cho trước (z = r (cos varphi + isin varphi) ), (z ‘= r’ (cos varphi ‘ + isin varphi’) ) (r > 0, r ‘ > 0)
(zz ‘= rr’ (cos (varphi + varphi ‘) + isin ( varphi + varphi’)) )
( frac {z} {z’} = frac {r} {r’}[cos(varphi -varphi ‘)+isin(varphi -varphi ‘)])
khi r > 0

Xem chi tiết >>> Số lượng giác phức và cách chuyển đổi số lượng giác phức

Thực hiện của số phức là gì?

Sử dụng số phức để giải hệ phương trình
Xét hệ phương trình ( left {start {matrix} f(x; y) = g(x; y) (1) & \ h(x; y) = k(x; y) (2) & end {ma trận } đúng. )
Lấy (2) nhân i rồi cộng/trừ (1) cho cả hai vế, ta được:
f(x; y) + h(x; y) i = g(x; y) + k(x; y) i

Đặt z = x + yi đại diện thông qua các đại lượng z, modulo z…
Ví dụ: Giải hệ phương trình: ( left{start{matrix}x + frac{3x–y}{x^{2} + y^{2}} = 3(1) & \ y = frac{x + 3y}{ x ) ^ {2} + y ^ {2}} (2) và kết thúc {ma trận} ở bên phải. )
Phần thưởng:
Lấy (2) nhân tôi và cộng (1) ta được:
(x + yi + frac {(3x-y) – (x + 3y) i} {x^{2} + y^{2}} = 3 )
( Mũi tên trái x + yi + frac{3(x–yi)} {x^{2} + y^{2}} – frac{(x-yi)i} {x^{2} + y^{2 } } = 3
)
Đặt z = x + yi thành x, y ( epsilon mathbb {R} ).
(Mũi tên bên phải
Mũi tên trái z + frac {(3 – i) bar {z}} { left | phải | ^ {2}} = 3 Mũi tên phải z + frac {(3 – i)} {z} = 3 )

( Mũi tên phải ) z = 2 + i hoặc z = 1 – i

(x + yi = 2 + i Mũi tên trái phải trái {bắt đầu {ma trận} x = 2 & \ y = 1 và kết thúc {ma trận} phải. )

(x + yi = 1 – i Mũi tên trái phải trái {bắt đầu {ma trận} x = 1 & \ y = -1 và kết thúc {ma trận} phải. )